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小提琴弦下的奥妙——趣谈自激振动

2020-9-23 16:15| 发布者: weixin| 查看: 469| 评论: 0|原作者: weixin|来自: 声振之家公众号

摘要: 想必大家或多或少知道小提琴的演奏方式:将琴弓放在琴弦上,拉动琴弓,小提琴便能发出悠扬的音乐。我们都知道,声音是由物体振动而产生的,小提琴也不例外。
想必大家或多或少知道小提琴的演奏方式:将琴弓放在琴弦上,拉动琴弓,小提琴便能发出悠扬的音乐。我们都知道,声音是由物体振动而产生的,小提琴也不例外。琴弦的前后快速振动产生了声音,而声音的美妙更说明这种振动是比较规律的。然而,是否有人注意到,单单拉琴弓这个动作,似乎和前后振动的动作没什么关系。而且能被人耳察觉到的声音至少需要20Hz,前后拉弓显然达不到这个频率。那么,琴弦究竟是如何振起来的呢?

这一切都要归功于自激振动这种物理现象。

琴弦——干摩擦引起的自激振动
我们来观察一下小提琴的琴弦和琴弓。琴弦基本上就是一根弹性绳,在没有外力的时候,它是伸直的。将琴弦从它伸直的状态拉开,琴弦便会在自己张力的作用下往回弹,拉开得越远,回弹的力越大,我们选择琴弓与琴弦接触点相比伸直状态的位移表示弦的偏移量,弹力近似只与x 成正比。弦和弓间有摩擦力,弓一般很粗糙,这个摩擦力很大,完全能够抵抗琴弦回弹的力。所以,当我们拉弦的时候,弦在摩擦力的作用下张开;弦被拉伸,使弦的弹力越来越大,直到某一瞬间,弹力超过了弓能提供的最大静摩擦力,弦便突然回弹;弦的弹力又减小,直到弹力再一次小于摩擦力,琴弦再次被拉开。如此周而复始,形成振动。
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琴弦振动中的摩擦力
让我们更进一步,可以发现这个系统存在一个平衡点,琴弦被拉伸至回弹的力等于最大静摩擦力时,琴弦完全可以停在这个位置。但演奏中弦并没有停留在此处,这与摩擦力的形式相关。

我们通常将摩擦力看作恒定的,然而实际上,摩擦力的大小与接触面的相对速度相关。如下图所示。这种摩擦力更符合现实中见到的摩擦力。速度较大时摩擦力是恒定的,速度较小时摩擦力会增大,这符合静摩擦力大于滑动摩擦力的现象。
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设弓运动的速度为v。假设琴弦达到了上述的平衡点不再运动,弦相对于弓的运动速度为-v。如果这时琴弦受到了一个微扰。它有可能顺着弓运动了起来,则弦相对于弓的速度减小了。弦受弓的摩擦力增大,超过了此时的弹力,弦便动起来,被越拽越远,振动便开始了。同样,如果弦稍稍回弹了一点,它相对于弓的速度增大了,摩擦力减小,而弹力没有,弦便会继续向回弹。可见,这个平衡点不是稳定的。

奇特的周期特点
这样运动的周期性是怎样的呢?我们发现,琴弦和弓运动方向相同和相反时,总位移大小是相等的。如果琴弦的速度始终没有弓快,则运动方向与弓相同时,弓对弦的摩擦力做正功;相反时,摩擦力做负功。然而,运动方向相同时,相对运动速度小,摩擦力大,因此正功多于负功,琴弦振动幅度越来越大。直到某一瞬间,琴弦的速度超过了琴弓,琴弦受到反向的摩擦力,速度急剧减小。所以,琴弦的能量不会无限增大,它总会稳定在某一种振动模式。

如果将琴弦的运动状态画在相图上,我们就会发现,无论琴弦初始状态如何,相轨最终都会趋向于同一根闭合曲线。这根闭合曲线是所有相轨的极限,称为极限环。极限环里平行于水平轴线的直线,代表弦被弓拽走拉伸的过程;下面那段回弯的曲线,代表了超过静摩擦极限后,弦急速回弹的过程。

自激振动在生活中是很常见的。本文提及的小提琴,狂风划过树枝的呼啸声,自来水管突如其来的喘振,墙上的老式机械挂钟发出的滴答滴答的摆动声……这些现象的背后都藏着这样一个有趣的物理原理。

对演绎着我们生活的物理充满好奇,会让你的生活更有意思。

参考文献:
[1]https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8A%A8#%E8%87%AA%E6%BF%80%E6%8C%AF%E5%8A%A8
[2] 赵凯华,罗蔚茵:《新概念物理教程》(第二版)
[3] Richard Philips Feynman,《The Feynman Lecture on Physics》

来源:致远物理咯咯微信公众号(ID:gh_9a8febbbee17),作者:龚亦飞 郭禹恒 张晋川。

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