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从材料的极限长度说起

2020-9-18 16:52| 发布者: weixin| 查看: 380| 评论: 0|原作者: weixin|来自: 声振之家公众号

摘要: 每一条金属丝都有一个极限长度,到了这个长度便会由于自重断裂。
在前苏联别莱利曼写的《趣味力学》中,有一段关于材料强度的话:

每一条金属丝都有一个极限长度,到了这个长度便会由于自重断裂。在这里加粗金属丝是没有用的,因为把直径加倍固然可以使它经受住四倍的重量,但是它的重量也增加到四倍。极限长度与金属丝的粗细无关,只看它是什么材料制成的:对于铁是一个极限长度,对于铜是另一个极限长度,对于铅又是一个极限长度。

接着,别莱利曼列出了几种常见金属、极限长度:

  · 铅丝:200m

  · 锌丝:2100m

  · 铁丝:7500m

最后,别莱利曼还计算根据当时具有的强度最大的材料合金钢丝来说,它的极限长度是8800米,要想用它探测深海,还差一大截,因为海洋的最深处超过一万米。

别莱利曼说的是当金属丝是等截面的情形,我们要问,用不等截面的金属丝,在自重之下长度是否能够超过极限长度?答案是肯定的,而且能够无限长!

下面,我们就来讨论如何做到。
如图,取 z 轴向下为正,令金属丝的半径为r,它是坐标 z 的函数。
1.png
我们知道在坐标 z 处它的半径为r,于是金属丝的截面积就是πr 2。再设金属材料的密度为ρ,材料的需用应力为σ,于是在 z 以下的金属丝的总重力应当是
2.png
这里g 是重力加速度。我们希望这根金属丝是等强度的,即在每个截面上的应力都是许用应力σ。这样就应当是总重被截面积去除,也就是
3.png
亦即
4.png
两边同时对 z 求微商,我们就得到微分方程
5.png

6.png
这个方程的解是
7.png
这里r0 是当z=0时金属丝的半径,由这条曲线绕 z 轴旋转所成的物体,就是我们要求的自重下的等强度金属丝。

从解式看出,当金属的强度愈大,一般说它的允许应力也愈大,截面的收缩愈慢;而当金属的密度愈大,截面的收缩就愈快。

还应当注意的是,截面只是相似的,例如可以是正方形、三角形等,其特征尺寸变化如上式,也是等强度的。而且可以证明,当r0 给定时,得到的金属丝的总重量是有限的。

需要说明的是,上面的结果是理论上的结果。其实当截面细到一定程度后,再谈它的承载力是没有意义的。不过,有这个结果指导,在实际问题中已经可以做到满足任何实际需要的长度了。

上面我们讨论的是铅垂的金属丝在自重下拉伸的简单问题。在实际中,结构是复杂的,例如,人们竞相建造高度很高的建筑物,一次次突破以前的高度记录。建造高而又高的建筑物,要考虑的受力就要复杂多了,有自重、风载、地震载荷,还有生活在其中的人和有关的附属物所造成的载荷。我们问,最高的记录能有多高?还有,桥梁的跨度会有极限吗?飞机起飞重量有极限吗?等等,这一连串的问题,都是值得我们思考的。

来源:武际可科学网博客,作者:武际可 北京大学力学系。

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