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弹性力学有限元分析中一个问题,你真的理解吗?

2020-6-17 15:35| 发布者: weixin| 查看: 459| 评论: 0|原作者: weixin|来自: 声振之家公众号

摘要: 有限元方程的得到,首先需要推导单元的刚度矩阵,然后合成刚度矩阵,得到集成的整体刚度矩阵,从而列出有限元方程求解。
有限元分析中,最终得到的有限元方程如下形式:
1.png
其中,[K ] 为合成刚度矩阵;{δ } 为各节点的位移;{R } 为各节点受到的外力。

在弹性力学分析中,有一个初学者很容易犯的错误:{R } 中不包含约束力。你如果这样认为,那么在求解时会发现一个问题,就是当根据最后的集成有限元方程({R } 中只有约束的位置设为0,即不考虑约束力),解得各节点位移后,再带入有限元方程,会发现 {R } 中只有约束的位置不是0。而一些书上概念没搞清,{R } 中有约束的地方直接设为0,如果没验算一下,也不会发现这个问题,而学习的人模仿书上的例题照葫芦画瓢,又想着有限元方程是根据虚功原理推出来的,虚功原理是不考虑约束力的,自然觉得这没问题,当发现问题时就hold不住了,这种整个过程都认为没问题,最后结果有问题的时候最让人抓狂了,有木有!

这回貌似真懂了,解释一下:

有限元方程的得到,首先需要推导单元的刚度矩阵,然后合成刚度矩阵,得到集成的整体刚度矩阵,从而列出有限元方程求解。是的,在推导单元刚度矩阵时是使用了虚功原理,虚功原理也确实不需要考虑约束力,但是试问一个物体的刚度矩阵和所受的约束有关吗?问题就在这,虽然使用了虚功原理,但在求单元刚度矩阵时就根本不涉及约束的概念,有木有!

所以在求解有限元方程时,{R } 中需要包含约束力,即 {R } 包含两部分:
2.png
虽然有些约束力不知道,但仍要在方程中体现出来,而有限元方程的求解正好不需要这些约束力的参与(划行划列会把不知道的约束力划去),而且求解得到各节点位移后,根据有限元方程还能求得约束力。具体求解书上写的很清楚(可见书上也相互矛盾的,前面说 {R } 中不包含约束力,这里又要对约束力进行分析。)

把上面的有限元方程写成分块的形式:
3.png
其中,{δ1} 是无约束的自由节点自由度向量,即未知自由度向量;{δ2} 是有约束的节点自由度向量,边界处的位移;{R1} 是已知的节点力向量(主动力);{R2} 是未知的节点力向量(约束反力)。

于是在方程组中第一式为
4.png
此处 [K11] 是非奇异的,所以
5.png
这就是未知节点位移求解式。

当 {δ2}=0时,有
6.png
这就是当已知边界节点位移为0时,矩阵划行划列后的结果。于是可以求得约束处的约束反力为
7.png
来源:新浪了凡春秋的博客

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