一、微积分的内容 微积分是近现代科学最重要的数学工具，也是所有理工科学生必备的知识基础。微积分在不同的学校、专业，常常以《数学分析》、《高等数学》为名出现在本科生培养方案中。习惯上，名之以《数学分析》时，更加偏重数学基础，也就是说，要讲授并要求学生掌握严格的极限理论，甚至实数定义;而名之以《高等数学》时，主要要求学生掌握求导求积分这些工具。更加细致地，(一元)微积分可由浅入深分成以下四个层次来理解和讲授。牛顿-莱布尼兹公式 从作为变化率(几何上就是斜率)意义的导数入手，给出导(函)数以及导数的基本运算法则(四则运算、复合、参数表示、反函数、隐函数);再给出求导的逆运算(逆算子)不定积分，以及作为总求和量(面积)的定积分。 牛顿-莱布尼兹公式也称为微积分学基本定理，联系导数和积分这两种运算，即定积分可以用不定积分求出(以及反过来不定积分可以用变上限积分得到)。这就给出了一个完整的作为计算体系的微积分(用于分析相关应用问题)。 泰勒公式 牛顿所称的求导与莱布尼兹所说的微分对一元函数而言是等价的。微分以局部线性近似为基本出发点，即函数的增量主要由线性部分(微分)刻画，其余部分是高阶无穷小量 (o(Δx))，这里的线性变化率(微商)就是导数，它逐点变化。对于逐点变化的变化率，如果再看它的线性增量，就得到二阶导数，相当于对原来的函数作二阶多项式近似，不够准确的部分是更高阶的无穷小量 (o(Δx)2)，如此续行得到的多项式逼近就是泰勒展开。 泰勒展开式包含了丰富的信息，譬如单调性、极值、凸性等等。与微分相应，定积分的理论基础是有限和，其中每一项来自于对小区间Δx上函数下方的面积作矩形近似，这与微分异曲同工。 非常有意义的是，上述局部近似得到的有限和在分割无限加密时，给出了准确的定积分这样的整体信息。另一方面，泰勒公式基础上发展出函数的精确近似：泰勒级数。更为一般的函数项级数和级数，是微积分进一步的知识，其中特别值得重视的是傅里叶级数(和傅里叶变换)，几乎可以说，把微积分作为应用工具时，掌握了傅里叶级数就几乎“走遍天下都不怕”，因为绝大多数应用都(近似)是线性问题，而傅里叶级数和傅里叶变换处理线性问题特别有效。 极限 如果说前面两个层次更多的是计算的微积分，那么极限就是分析的微积分。导数和积分是两种特殊的极限。极限的根本在于它定义了一个过程，而不是仅仅着眼于数值本身。以无穷小为例，除了0没有一个数是无穷小的，因为总还有比它绝对值更小的数(例如它的一半);无穷小描述的是一个不断接近于0的过程。 如果以日常生活为例，考虑一个孩子可能提出的问题：汽车最慢开多快?不能回答0，因为这时汽车是停着的而不是开着的;也不能回答0.001米/秒，因为还可以更慢。正确的回答是看似答非所问的：汽车慢慢停下来，这个停下来的过程包含了所有“慢”速度，把不恰当的提问更正为一个可以数学上准确刻画的命题。定义了作为过程的极限，就能跳出简单比较大小的窠臼，进入到清晰的无穷大/小的讨论和分析，微分和积分就有了干净准确的语言基础。什么是一个微积分意义下的证明，也就是可以判定、从而可以传授的了。 实数 实数的准确定义，迄今只不过百年左右，晚于极限，更晚于导数和积分。(一元实值)函数就是实数间的一个映射，而实数定义里已包含极限过程，这在采用规范无尽小数定义实数时格外明晰(另一种常用的定义方式是戴德金分割)。实数四则运算基于上确界和下确界，确界原理的证明则包括了构造和证明这两个过程，而且都具备了清晰的极限证明的特征。完全可以说，实数的定义、四则运算、比较大小、确界原理不仅在理论上是微积分坚实的基础，而且在技术和深度上也是微积分知识中的高峰。 以自然数和实数为基础(起)的数学分析，给出了极限的严格定义，这种定义方式符合数学的内在逻辑，我们要同时看到与自然理解中极限(x 越靠近a，则f(x)越靠近某个A)的叙述方式不同。一旦获得对极限的理解，就可以通过局部线性近似(承)得到可微与可导，并进一步用导函数的办法通过运算得到一般的(初等)函数的导数。接着，从罗尔定理开始，发展一系列中值定理(转)，由此不但推出了洛必达法则、泰勒展开，更重要的是它揭示了函数与导函数的关系是可以反求的--- 当然在差一个常数的意义下，于是就得到不定积分。最后，牛顿-莱布尼兹公式联系了不定积分和定积分(合)，一元微积分的理论也就圆满建成 二、微积分的作用和意义 作为应用的微积分，微分运算对于研究函数的极值、单调性、凸性等有着系统简便的讨论方法，不定积分对于常微分方程求解是一个基本手段。人们通过微元法大量应用定积分的知识处理几何、物理等应用问题，即便未能清晰掌握数学分析的理论基础和内在逻辑，仅仅求导、不定积分、定积分、洛必达法则求极限、费马定理求极值这几个重要的工具，就在近现代科学中起到了支柱作用。特别值得强调的是，这是非常系统的、基础的和相当完备统一的处理方式，完全没有数学竞赛风格的炫技。清楚深刻(真)，可学好用(善)，雍容大度(美)。 对于学习和成长来说，微积分帮助大家从中学教育过渡到大学学习。首先，微积分与中学的数学课程一样，都是严谨建立的，而不是来自于不同方面的知识堆积，充分体现了数学“以概念、因逻辑、求真理、得自在”的风范。而在大学今后的学习中，演绎性的知识体系常常会掺进去不少归纳得来的重要结论。其次，微积分课程至少开始时教师会比较完整地带着同学们逐步积累概念、推导性质、证明定理、实施运算、开展应用，而且微积分是大学阶段不多的有习题课的课程之一。经过这些过程，学生逐渐学会自主学习。 更加细致地来说，微积分(和分析类数学)对于构建知识体系有四个方面的作用。 工具 近现代科学的范式基本上定格在牛顿力学，而微积分工具决定了科学的基本思维方式是分析---不断分而析之直至无穷小，以及在此基础上的综合---求积分。细思一下，按理说人们应该对离散的算术/数学更加熟悉，但现代科学几乎完全是连续数学(微分方程为代表)的天下(直到计算机普及才有所改观)。于是，学习作为工具的微积分必须达到算得又快又准。一般而言，算的慢跟不熟练有关，不熟练就容易出错。而对于后续的理工科课程，求导求积分是个基本功，大量用到，微积分计算直接决定了后续课程的学习进度和质量，无论怎样强调都不为过。 语言 微积分作为语言的含义有二： · 一方面，它是微分方程、复变函数、泛函分析等分析类课程的基础，成熟的学科一般都有独特的控制方程，譬如弹性力学方程组、纳维-斯托克斯方程组、薛定谔方程、麦克斯韦方程组、反应动力学方程组等等，这些学科的叙述方式就依赖于微积分提供的语言，可以说，不懂微积分就无法登堂入室。 · 另一方面，微积分提供了准确清晰的词汇、语法和章法，这对于叙述、思考和解决问题以及交流是基础性的，这正如今日的我们很难理解古人关于马、或者法国人对于葡萄酒和奶酪有很多分法，也就更不可能进一步深入探讨。 语言对于思维的重要性，从德语的严谨和德国产生的一批哲学家、数学家等也可见一斑。语言为思想编织了一个网，大学一入门先编上一套缜密结实的微积分之网是今后学习所必须的(这个网由细入粗易，由粗入细难。) 思想 牛顿尽管是虔诚的教徒，但他以微积分为语言率先发展出的力学体系，却具备了欧几里德几何那样清晰、准确、通用的特点，为科学的发展、人类思想的进步提供了前所未有的可能性。虽然与哲学、法律等同样强调逻辑、思辨，科学上概念和命题的清晰使得结论可以也必须通过平等开放的交流达到，而非凭权力财富声望地位来主宰钳制。就数学而言，如果同一个问题两个人得到不一致的结论，那么至少一个人是错的(转引自石根华教授，这里“错的”似应包括不完整)。基于微积分等数学语言发展、表述出来的现代科学及技术，充分表明这种基于平等、自由的思考是如何深刻、先进、势不可当。我们学习微积分，需要认真体会这种思想，努力向着“概念清”前进，这也是数学分析区别于高等数学的重要方面。证明题对概念清尤为重要，知道一个命题需要证明、什么是一个证明、如何得到证明的关键想法、以及怎样完整严谨地论述，这是科学思维训练的核心，从这个角度看，数学技巧反而是只是术而非道。 人格 由于微积分的上述特点，学习了微积分、并且以此作为基本手段进一步学习工作的人，浸淫日久，就会受其影响，在思考、做事、为人上都有所不同。 · 首先，建立了一种分析的思维方式，讨论事情讲求明确、准确，研究问题善用逻辑、计算，认识世界相信万物自有理在其中; · 其次，对于定量化有更高的期待，也有更高明的手段进行处理; · 再次，能够从细小处着手，不断积累、转变、提高，直至取得完整的认识。 由此而往，对世界的理解不断精进，对一己的期待不断努力而又自知自足，认识到在“数”(自然规律、社会规律)面前人人平等，生出不卑不亢、不喜不悲之心，得人生之般若。世人心目中发呆的数学家，又何尝不正是得大智慧者的形象呢？ 三、微积分的学习方法 对于学习微积分，光光有上述心法远远不够。我们还是从课前、上课、课后、以及教材、参考书、习题分别来说。 新入大学的同学容易有一个误解，以为大学听听课、写写作业、考前突击一下就能完成学业，其实不然。大学，尤其是强手如林的好大学，一个基本的特点就是学习时间不够用。对于平均智力和基础的同学，普通难度的课程，不很突出的成绩期望值，一门课程的总学习时间大概是课时的3倍，以《数学分析》为例，周4学时大课加上2学时习题课，课后应该花大概每周12小时(4个3小时时段---上午、下午、晚上)。如果期待有更大的提高，还得继续增加时间;学习时间如果达不到，就不必讨论学习方式的改进了。 在足量学习时间的前提下，学习方式其实包括两部分： · 一是过去已经建立好的学习习惯，譬如预习、复习的习惯，积累错题的习惯，与同学讨论交流、咨询主讲老师和助教的习惯，都应该悉数保留; · 另一部分是大学特色的新的学习方式，这是应该要努力学习、尝试、建立的。 大学学习更为自主，学习方式因人而异，没有最好的，只有最合适的。而因为尝试最费时间，所以不建议一年级选很多课、参加过多的课外活动和社会服务，《数学分析》需要长时间静心的学习才能有效掌握知识技能。课前的预习未必要花很多时间，稍看一下，搞清楚大致的来龙去脉跟已学知识的关系，特别是看出难点、重点在哪里，接着课上就可以选择性地集中注意力听讲、思考。 课后是大学学习中最主要的，一般而言，应该先读书、回顾主要知识点，然后再开始完成作业，并且补充完成足量作业外的习题来熟悉各种思路和题型，此外留出时间思考和讨论。思考，是指自己花时间整理知识和技巧;讨论，是指就自己不明白的问别人、和帮助别人解释消化他/她的难点。大家一般都愿意花时间思考，但是对于讨论，往往只愿意问别人自己不明白的，往往不怎么情愿把时间花在为别人解难。其实，对于知识点多、逻辑深长的微积分，给别人讲解往往对自己的帮助更大，自己以为明白和能给别人讲明白之间有一个很大的飞跃，只有真正清楚、又善于言语表达才能做到后者，这里且不说助人为乐带来的人品提升。而通过训练自己真正清楚、以及通过理解别人之所以不理解相关内容的困难所在，对于更好掌握知识体系和逻辑结构绝对很有帮助。 教材是教员授课的基础，一般也是考试的依据。对于学生而言，有一定可能性教材不适合个人喜好，这可能因为是叙述方式，也可能是知识安排，甚至只是书本的印刷排版风格，都会影响阅读体验。譬如，有的同学喜欢逻辑严谨、一板一眼的教材，有的同学则喜欢从例子入手、先讲清楚目标用途、再说具体技术细节的教材。当教材不适合作为唯一读物，就要选择1-2本参考书，可以到图书馆、书店直接查找，不需要非得跟教材的要求、水准一致，看的顺眼、跟的舒服就好，因为微积分的主要内容在不同的书里都是差不多的，先通过适合自己的参考书掌握到大的方面、再去读教材求精就更有成效一些。 接着就要说到习题和习题课。可以说，大课(主讲)往往只提供微积分学习的一个基础，上课觉得听懂了、跟能够顺利理解和应用所学知识做题之间有很大距离，这其实是一个建模的过程，即把要完成的作业上的问题化成微积分大课传授的知识技能所能解决的模型，习题课就带着同学们学会走过这段距离。习题册是真正自己学会课程内容、应用解题最重要的部分，只有通过解题，才能真正理解和掌握微积分，术之不存、道将焉附?那么，题目应该做多少才合适呢?一般而言，多多益善。微积分可以说是人类智慧最密集的课程，数百年来最聪明的脑袋积累下来的知识，经过上百年的几乎所有正规大学理工科的讲授整合，知识密度不是一两个学期做题就能完全解压的。在肯定做不完的前提下，可以有一些选题的技巧，那就是：每段内容基本(简单)题要完整地做几道，掌握基础和规范表述，其它基本题跳着比划一下，有思路就可以放掉，直至遇到新题、中等题。中等题需要根据时间多做一些，这部分是提高自己水平最有用的，没有思路的时候，可以适当找一些例题、解答，但一定要自己想过之后再找答案。难题是一定有的，而且必须总有几道装在脑子里，目的不是为了解出来，而就是为了训练思维。正如禽类的嗉囊，里面的沙子没有什么营养，但可以用来磨食。 正因为不会做，所以能够逼着自己左冲右突、尝试各种可能，即便这些可能性最后都没帮助实现解决问题的目标，尝试的过程对于理解概念、定理、技术的各个侧面会裨益甚大。需要特别指出的是，这里所说的难易程度，因人而异、因时而异。 从1997年起，我在北京大学力学系和之后的工学院讲《数学分析/微积分》，迄今10轮。我们一直选用北大出版社经典之作，张筑生教授编著的《数学分析新讲》，它知识完整、结构清晰、逻辑缜密，是一本难以逾越的教材。北大力学系源自于1952年成立的数力系力学专业，是全国第一个理科力学专业，理科力学对于数学的要求在所有非数学专业中是最高的。因此，数学分析课一直与数学系(后来称数学科学学院)同等要求，并于1999年就作为组成部分纳入北京大学《数学分析》本科生优秀主干基础课体系。由于生源不同、后续培养方案和应用背景不同，对于力学专业的学生和以发展science-based-engineering为己任的工学院的学生而言，授课的要求和方式也与数学系有所不同，譬如，我们首先要求学生“算得快”，在此基础上再要求学生“概念清”。再如，数学系有后续实变函数等课程可以加深学生对实数理论的理解，而我们没有。 因此，为了知识的完整必须一开始就把实数理论讲全，这对初入黉门的不少学生而言有很大挑战性。在教学过程中，我们发现需要更新一些内容、调整一些讲法、增加一些浅显的陈述、勾连一些蛛丝马迹，以帮助我们的学生更愿意学、学的更有效，因此，不揣浅陋，将历年讲义蒐集成册，其主要内容、甚至章节安排都很大程度上受《数学分析新讲》的影响，算是为前辈教授的大作作注脚，遂名之曰《微积分导引》。导引中编入的习题，量相当小，只够帮助粗粗消化主要内容，应该配合《吉米多维奇习题集》服用。 感谢前辈老师，特别是武际可老师、王敏中老师、叶以同老师，和一同教学的同事们，以及历年来的助教。 感谢参加这门课程学习的同学们。北京大学之所以成为北京大学，是因为你们，而不是我们;将因为你们，并不是我们。 来源：力学科普公众号(ID：lxkp_cstam)，作者：唐少强。本文发表于《力学与实践》2018年第4期，略有改动。 |
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