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刚体与质点的区别与联系

2018-8-17 09:44| 发布者: weixin| 查看: 4086| 评论: 0|原作者: weixin|来自: 声振之家公众号

摘要: 本文揭示了刚体与质点的区别与联系
  质点和刚体首先区别在它们的自由度上,点在空间只可能产生x,y,z三个方向的线位移,因此我们说质点有3个自由度;而对于刚体除了x,y,z三个方向的线位移外,还可以产生绕x,y,z三个轴的转动,也成为角位移,因此我们称刚体有6个自由度。

  举例来说,研究人造卫星的飞行轨迹,可以不考虑人造卫星的形状和大小,将卫星简化为质点来处理,它的位置可以用经度、维度和高度3个量来描述(即3个自由度)。假如在卫星上安装一台照相机,要对地面、或太空进行拍照,那么卫星的姿态就显得比较重要了。此时仅用经度、维度和高度3个量描述卫星就不足以说明拍照对象和角度,除此3个量之外,还需要对卫星进行姿态描述。

  欧拉 (Leonhard Euler,1707-1783) 最早 (1760年) 用进动角、章动角和自转角(合称欧拉角)描述了刚体在三维欧氏族空间的绕定点运动。考虑下图所示蓝色坐标系x,y,z为参考坐标系,红色坐标系X,Y,Z是固定在刚体上,随刚体一起运动,称之为随动坐标系。因此,认为红色坐标系的运动就代表了刚体的运动。
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  请与下图对应着看
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  假如红色坐标系的初始状态与参考坐标系重合(可配合动图理解),认为刚体运动可分解为三个步骤:

  1、红色坐标系绕oz轴(与oZ轴重合)旋转α 角度,称为进动角,此时oX轴转至oN位置处;

  2、绕红色坐标系oN轴(即新的oX轴)旋转β角度,称为章动角,这样oN垂直于zoZ平面的,称oN为节线;

  3、再绕新的oZ轴旋转γ角度,称为自转角。如果通过节线可以比较清楚的定义三个角:

      (1) 节线oN与参考坐标系ox轴的夹角为进动角α;

      (2) 随动坐标系oZ轴与参考坐标系oz轴的夹角为章动角β;

      (3) 随动坐标系oX轴与节线oN的夹角为自转角γ。

  进动角 (Precession)、章动角 (nutation)、自转角 (intrinsic rotation) 是来自天文学的三个概念。我们以地球的运动来说明:例如地球绕自转轴旋转(下图中绿色R标示),由此产生的角度就是自转角;其次,由于地球在绕太阳公转的同时还受到月球的吸引力,称月球绕地球的旋转平面为白道面,而地球绕太阳的旋转为赤道面,由于赤道和白道之间有5o的差距,因此月球会对地球产生一个扭转作用,致使地球在绕太阳公转的方向上左右摇摆(下图中红色N标示),像是向太阳点头一般,由此产生的角度改变称为章动角;最后地球在高速自转时,当外力产生的力矩矢与自转轴不重合时就会产生进动,这种运动导致自转角看起来像是在做圆锥摆动(下图中蓝色P标示,陀螺运动中经常会见到进动)。
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  这种运动就是进动

  在航天器中,进动角α,章动角β 和自转角γ 通常称为描述刚体的姿态角,在有的资料中α,β,γ也用ψ,θ,φ来表示。对于飞行中的飞机,其姿态调整通常采用偏航 (yaw),仰角 (pitch) 和滚动 (roll) 来描述(如下图所示),它们也是欧拉角的一种。值得一提的是欧拉角并不是唯一的,选择不同旋转轴和转动顺序,可以产生24种不同的广义欧拉角。
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  偏航/yaw

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  仰俯/pitch

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  滚动/roll

  在理论力学上,欧拉角被用来描述刚体定点运动,将刚体的任意运动分解为定点(质心)的空间运动和刚体的定点运动合成,定点所代表的运动被称为平动(物体上任何一点都具有和定点相同的运动),然后再利用欧拉角描述刚体的绕定点运动。

  在刚体的学习中,很多质点的结论可推广应用到刚体中。从静力学角度考虑,一维情况下限制一个质点的运动,只需要在该方向上施加约束(或力);在二维平面内,需要2个约束(或力);再到三维空间则需要3个约束(或力)。如果对于刚体,一维情况下不需要考虑刚体转动,只有该方向上的运动,此时刚体与质点情况一样;在二维平面内,除2个方向上的约束外,还需要1个限制刚体旋转的约束(或力偶);在三维空间内,就需要3个方向上的约束,加3个限制刚体旋转的约束(或力偶)。如果把旋转看作是一种广义位移,力偶看作是广义力,从建立控制方程上,刚体和质点没有本质上的区别,只是方程数量增加,求解问题的复杂程度增加。

  在这些结论在动力学中,也同样适用。质点的动力学方程用牛顿第二定律表示为:
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  这里i 为1、2、3对应于x、y、z轴。对于刚体动力学问题,可分解为质心的动力学方程加刚体定点运动的动力学方程,成为:
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  这里i 仍为1、2、3对应于x、y、z轴,M 表示力偶,α 是角加速度,下标i 表示绕某轴的力偶或角加速度。J 被称为转动惯量,表达式是
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  式中,r 表示微元体ρdm到转动轴的距离。在质点模型中,质量m 是衡量物体惯性大小的量,质量大,惯性就大,就更倾向于保持原运动状态。

  在刚体转动中,转动惯量J 就是衡量刚体发生转动惯性大小的量,转动惯量大,转动惯性就大,表明保持原转动特性的能力大。换言之,质量m 是表征线位移上惯性大小的指标,而转动惯量是表征角位移上惯性大小的指标。实际上,描述刚体的转动时,将描述质点的质量换成转动惯量,将施加于质点的集中力换成力偶,质点动力学的大多数结论在刚体转动中仍然成立。

  在质点动力学中,将刚体转动的J、M、α 视为广义的m、F、a,质点动力学的许多结论可以适用于刚体转动。例如质点平衡与刚体转动平衡,动量定理与动量矩定义,能量守恒定律,冲量定律等等。尽管刚体与质点有这么多的相似,刚体力学的发展要晚质点力学许多,牛顿作为经典力学的奠基人仍不会求解刚体问题,到1760年(牛顿的《自然哲学的数学原理》成书于1687年)欧拉给出了欧拉角描述刚体的绕定点运动,到1765年发表《刚体运动理论》将刚体的运动分解为刚体上一点的运动与刚体绕该点的定点运动。但欧拉解决的是单个刚体的运动情况,对于由刚体组成的刚体系统问题则要借助1788年拉格朗日的《分析力学》,1834年哈密顿又将其推广到了哈密顿力学(分析力学的另一种体系)。到20世纪,人们又开始关心运动的稳定性问题,由此引发了非线性动力系统的非线性特征和系统控制理论研究,直到今天,仍然是动力学系统研究的热点问题之一。

  来源:力学酒吧公众号(ID:Mechanics-Bar),作者:张伟伟 太原科技大学。

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