| 提到分形，可能有些人会感到很陌生。这是个什么概念，还是个什么东西?如果用最浅显但同时又貌似深奥的话来讲，分形就是“不规则的规则”。 不规则的规则?这又是什么? 为了解释不规则的规则，我们先来看一下“规则的规则”：在经典的欧氏几何中，我们可以用直线、圆锥、球等这一类规则的形状去描述如墙、车轮、道路、建筑物等人造物体，因为这些物体就是按欧氏几何的规则图形生成的。 目前，几何学里所研究的对象，大体上就是这样“规则的规则”的。但是，自然界中，却存在很多“不规则”的复杂的几何对象，如山脉、云烟、波浪、树木、闪电，以及星团、短痕、浸润、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、星 系、材料断口、小肠绒毛、大脑皮层……等，它们无法用经典几何图形来描述，人们发现，没有传统的数学模型可以对它们进行研究，因为它们不再具有我们所早已熟知的连续、光滑可微这一基本性质了。这一大类形状奇怪的图形长期以来被认为是“不可名状的”、“病态的”而很容易被人们忽视了。 那么这种不规则怎么还能称之为“规则”呢?请看下图的例子： 也许有人说能。是的，是可以的;但是，那将是一个漫长的工作。而且，在画图的过程中，我们就已经运用了分形的概念，虽然表面上我们只是用直尺和圆规，但我们却在不自觉地运用着“分形”，也就是“不规则的规则”。为什么这么说?我们再看一个经典的分形例子，Koch雪花： 如果对比叶子的图片，我们是不是会感觉到这两幅图有什么相似之处呢? 是的，它们在某种程度上很相似：都是不规则的，但都蕴含着规则之美。这可以用分形的定义来说明：分形集是一类不能用经典几何方法描述的“不规则”集合，它们基本满足分形的经典性质，但是在自相似的程度上可以有很大差别。而什么又是分形的经典性质呢? 从几何学上看，分形是实空间或复空间上一些复杂的点的集合，它们构成一个紧子集，并且具有下面经典的几何性质： · 分形集都具有任意小尺度下的比例细节，即具有无限精细结构; · 分形集无法用传统几何语言来描述，它不是某些简单方程的解集，也不是满足某些条件的点的轨迹; · 分形集具有某种自相似形式，包括近似和统计上的自相似; · 分形集一般可以用简单的方法定义和产生，如迭代; · 按某种维数定义，分形集的分形维数大于相应的拓扑维数。 概念性的东西总是很难理解，但我们将这个概念与Koch雪花联系起来，相信会豁然开朗许多。这就是分形，不规则中的规则。我们知道材料中有一类结构叫做“准晶”，那么，这种不规则的规则是不是就可以叫做“准规则”了呢? 将Koch雪花应用到现实的一个例子是海岸线模型：到过海边的人都见过海岸线，我们也常常见到介绍某国的文字中有“某某国有海岸线多长多长”的字样，那么，这个数字准确吗?它是怎么算出来的? 分形概念的提出者数学教授Mandelbrot于1967年在《Science》杂志上发表了一篇富有启发性的文章，题目就叫“英国的海岸线有多长?”(How long is the coast of Britain?)。 文章中说，海岸线这种曲线的度量是无法得到一个确定的答案的，测定的长度依赖于所采用的测量的尺度。如果测量单位较大，就如同远距离观察的效果，较小的海湾是不可能看到的，所以在测量中无法得到反映。当你接近海岸线时，相当于以较小的度量单位作出测量，一些较小的海湾就变得清晰了。如果再缩小尺度，那么海湾的细节也可以观测到，尺度足够小时，海岸线的更精细的凹凸波动都可以清晰地显现出来，因此，Mandelbrot断言，海岸线的长度是不确定的。貌似这时，我们似乎又可以说分形还是一种“规则的不规则”了。 这就是神秘而熟悉的分形。 本文来源于中国科学院上海硅酸盐研究所网站(www.sic.ac.cn)。 |
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