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周期与非周期强迫振动解析

2017-11-20 15:23| 发布者: weixin| 查看: 1780| 评论: 0|原作者: weixin|来自: 声振之家公众号

摘要: 关于周期与非周期强迫振动
  周期强迫振动
  模型简化依据:非简谐的周期激励在工程结构中的振动中大量存在,一般地,如果周期激励中的某一谐波的振幅比其他谐波的振幅大得多,大多可以作为简谐激励;反之,则周期激励。

  求解方法:一般周期激励下系统的响应问题需要将激励展开为Fourier级数,分别求出各个谐波引起的响应,再利用叠加原理得到系统的响应。

  周期函数展开为傅立叶级数的物理意义:把一个比较复杂的周期激励看成是许多不同频率的简谐激励的叠加。

  一、Fourier级数
  定理:设周期为T的周期函数f(t)满足收敛定理的条件,则它的傅立叶级数展开式为
1.png
  其中系数anbn利用三角函数的正交性求出:
2.png
  周期激励函数一般都满足收敛定理的条件,都可以展开为如下形式的傅立叶级数:
3.png
  其中
4.png

  二、谐波分析
  频率ω称为基本频率,简称基频;对应于基频的简谐分量,称为基波;对应于频率为2ω,3ω的简谐分量称为二次谐波,三次谐波,等等。

  谐波分析法基本思想:
  首先,将周期激励分解为一系列简谐激励之和。然后,求出系统对各个简谐激励的响应。最后,由线性系统的叠加原理,将每个响应叠加起来,即得到系统对周期激励的响应。
  1. 周期激励的处理
  将f(t)展成Fourier级数:
5.png
  其中的第p项为:
6.png
  对应的响应为:
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  2.求解
  振系在简谐激励f(t)=ancosnωtf(t)=bnsinnωt分别作用下,相应的强迫振动可依次表示为
8.png
  3.组集总响应
  根据线性系统的叠加原理
9.png

  三、结论
  系统的稳态响应也是周期函数,其周期仍然为T,并且激励的每个谐波都只引起与自身频率相同的响应,这是线性系统的特点。

  在周期激励中,只要系统的固有频率和激励中的某一谐波频率接近就会发生共振,因此,对于周期激励,要避开系统共振区比简谐激励要困难。通常使用适当增加系统阻尼的方式来减振。

  非周期激励作用下的强迫振动
  非周期激励作用的特点:
        · 作用时间短
        · 峰值大

  非周期强迫振动求解:
        · 脉冲响应函数法
        · 傅里叶变换法
        · 拉普拉斯变换法

  一、周期激励与响应的特点
  激励力无论是外界力或是支座的位移,我们都假定其函数要么为简谐,要么可以通过Fourier级数展成一系列简谐函数的和。

  振动系统对周期激励的响应通常指系统的稳态强迫振动响应,是按照激励频率(可以是单一的,亦可以是一系列)进行的周期振动。

  二、非周期激励与响应的特点
  在许多实际问题中,对振动系统的激励往往不是周期的,而是任意的时间函数,或者只是持续时间很短(相对于振动系统固有周期)的冲击。

  举例:车辆越障,瞬时冲击。

  相应地,瞬态激励引起的系统振动响应持续时间也不长,但响应的峰值往往很大,使结构产生较大应力和变形。

  振动系统通常没有稳态运动,只有瞬态振动。在激励消失后,振动系统进行阻尼自由振动,即所谓的剩余振动。振动系统在任意激励下的运动,包括剩余振动,称为振动系统对任意激励的响应。

  三、非周期强迫振动求解(时域法)
  此方法亦为——脉冲响应函数法,解决问题的思路:
        · 把非周期激振力看作是一系列作用时间极短的脉冲分力的叠加;
        · 在脉冲力作用下的响应— 应用动量定理;
        · 总响应— 叠加原理。

  1. 脉冲力定义
  如果F(t)的幅值很大,但作用时间很短,那么冲量:
10.png
  仍然为通常的数量级,这种力称为脉冲力。

  通常硬物体之间的碰撞力、闪电、电容瞬间的放电(照相机的闪光灯)都具有脉冲力的类似性质。

  如果F(t)的作用时间为(2ε,ε)(为任意非负实数),即当t>ε和t < 2ε时,F(t)=0,在这过程中,动量的改变量:
11.png
  上式的物理含义:物体所受的冲量等于物体动量的改变量。这种描述称为状态描述。

  2. Dirac函数
  一般,我们对脉冲力的作用过程不太关心,而关心它产生的后果。

  为了能在理论分析中更好的体现脉冲力的性质,在数学上用Dirac函数来表示脉冲力,通常又称作δ函数。
12.png
13.png
  在τ时刻的脉冲力可以表示为:
14.png
  利用δ函数,在任意时刻τ作用的脉冲力可以表示为:
15.png
  这里QQ截图20171120150834.png是一个常数。上式的物理意义:在τ时刻的一个力值无限大,但作用时间为0的脉冲力,其冲量为:
16.png
  Dirac函数性质:

  Dirac函数有一个重要性质:如果F(t)是一个连续函数,则:
17.png
  在某些文献上,该式作为Dirac函数定义的一部分,又称为Dirac函数的筛选性。

  3. 单自由度系统的脉冲响应
  设单自由度系统在t=0以前静止,在t=0受到脉冲力:
18.png
  系统微分方程为
19.png
  根据动量定理:在0⁺到0⁻这段时间系统的动量改变:
20.png
  在t=0时的脉冲力作用下,系统速度由
21.png
  变成
22.png
  而系统的位移没有变化(或者说,位移的变化23.png0<c<1是小量)


  当t>0后,系统不受外力,自由振动。系统受到脉冲力作用后的运动微分方程:
24.png
  它的解为:
25.png
  这就是初始时刻静止的系统在t=0时刻受到脉冲力26.png作用后的响应。


  4. 系统单位脉冲响应函数
  系统受到单位脉冲力作用,此时系统的响应称为系统单位脉冲响应,简称系统脉冲响应,用h(t)表示:
27.png
  显然,在t=τ以前静止的系统在t=τ时,受到一个单位脉冲激励后的响应为:
28.png
  把非周期激振力f(t)看作是一系列脉冲力的叠加:

  t=τ时刻的脉冲力:
29.png
  该脉冲力的响应:
30.png
  系统在t时刻的响应:
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  令Δτ→0,求和变成积分:
QQ截图20171120151224.png
  如果系统初始条件不为零,即:
32.png
  系统总的响应为 :
33.png
  5. 脉冲响应的意义
  系统的脉冲响应由系统本身的物理性质决定,反映了系统的振动特性。

  实例:锤击法

  在振动试验中,有一种方法叫做锤击法。用锤头带有力传感器的锤子敲击被测的结构,力传感器测出敲击的力信号,装在结构上的加速度传感器测出结构的加速度响应信号,把测出的力信号和加速度信号经过处理,可以求出系统的振动参数。如固有频率,阻尼比等。锤击法测试速度快,所需设备少,便于现场测试。
34.png
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  四、非周期强迫振动求解(频域法)
  此方法亦为——Fourier变换方法。前面讲述的方法都是直接在时域中求解微分方程,得到是系统的时间响应历程。

  对于一个振动问题,可以用Fourier变换在频率域内分析激励频谱,响应频谱以及系统特性的频率域描述之间的关系。

  周期激励的频谱图
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        · 频谱——是信号中各频率分量按频率高低依次排列的总体。
        · 幅频——是信号中各频率分量的幅值与频率之间的关系。
        · 相频——是信号中各频率分量的相位与频率之间的关系。
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  时域描述
38.png
  频域描述

  周期激励的傅里叶级数的复数形式为:
39.png
  非周期信号:T→∞

  谱线之间的频率间隔
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  离散频谱中相邻的谱线无限接近,离散频谱成为连续频谱。

  离散变量0变成了连续变量ω,求和运算就变成了求积分运算,于是得:
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  1. Fourier(正)变换
42.png
  称F(f),F(ω)为f(t) 的傅里叶变换或傅里叶积分。

  2. Fourier(逆)变换
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  称f(t) 为F(ω)的傅里叶逆变换,两者互为傅里叶变换对,即
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  3. 傅里叶变换对
  f(t) ,F(ω)构成傅里叶变换对
45.png
  记为
46.png

  4. 傅里叶变换的常用性质
  (1) 线性叠加性
  若x(t)和y(t)分别有傅里叶变换为X(f)、Y(f),则
47.png
  (2) 时移特性
  若
48.png
  则
49.png
  即把时域信号沿时间轴平移一常值t0,则使其频域引起相应的相移2πft。

  (3) 卷积特性
  两个函数x1(t)x2(t)),定义
50.png
  为函数x1(t)x2(t)的卷积,记作x1*x2(t)
  若
51.png
  则
52.png
  (4) 能量积分(巴什瓦等式)
  若
53.png
  则
54.png
  在时域中计算的信号总能量等于在频域中计算的信号总能量。

  5. 用Fourier变换求解的条件
        · f(t)在任意有限区间内都只有有限个第一类间断点;

        · f(t)在(- ∞,+∞上绝对可积:
55.png
        · 系统的初始条件是静止的,即初始条件为零。


  来源:节选自北京科技大学机《单自由度系统》讲义
  作者:王文瑞博士,副教授

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